Bài 46 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 46. Cho hàm số: \(y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right)\)
a) Tìm các giá trị của \(m\) để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại \(3\) điểm phân biệt.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với \(m = -1\)

Giải

a) Hoành độ giao điểm của đường cong đã cho và trục hoành là nghiệm của phương trình:

\(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 1 \hfill \cr
{x^2} + 2mx + m + 2 = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr} \right.\)

đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại \(3\) điểm phân biệt khi và chỉ khia phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1, tức là:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\Delta ‘ > 0 \hfill \cr
f\left( { – 1} \right) \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{m^2}-m – 2 > 0 \hfill \cr
– m + 3 \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
m < – 1 \hfill \cr
m > 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
m \ne 3 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow m \in \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {2;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right). \cr} \)

b) Với \(m =-1\) ta có \(y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – 2x + 1} \right) = {x^3} – {x^2} – x + 1\)

TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty \cr
& y’ = 3{x^2} – 2x – 1;\,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = – {1 \over 3} \hfill \cr} \right.;\,\,y\left( 1 \right) = 0;\,\,y\left( { – {1 \over 3}} \right) = {{32} \over {27}} \cr} \)

Bảng biến thiên: 

\(y” = 6x – 2;\,y” = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 3};\,y\left( {{1 \over 3}} \right) = {{16} \over {27}}\)

Xét dấu \(y”\)

Điểm uốn \(I\left( {{1 \over 3};{{16} \over {27}}} \right)\)

Điểm đồ thị đi qua:

\(x = 0 \Rightarrow y = 1\)

\(x = 2 \Rightarrow y = 3\)

\(x = -1 \Rightarrow y = 0\)

Đồ thị: Đồ thị nhận điểm uốn \(I\) làm tâm đối xứng.