Bài 47 trang 45 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 47. Cho hàm số: \(y = {x^4} – \left( {m + 1} \right){x^2} + m\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với \(m = 2\).
b) Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của \(m\).

Giải

a) Với \(m = 2\) ta có: \(y = {x^4} – 3{x^2} + 2\)
TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \cr
& y’ = 4{x^3} – 6x;\,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = \pm \sqrt {{3 \over 2}} \hfill \cr} \right.;\,\,y\left( 0 \right) = 2;\,y\left( { \pm \sqrt {{3 \over 2}} } \right) = – {1 \over 4} \cr} \)

Bảng biến thiên:

\(y” = 12{x^2} – 6;\,y” = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {{1 \over 2}} ;\,y\left( { \pm \sqrt {{1 \over 2}} } \right) = {3 \over 4}\)

Đồ thị có hai điểm uốn: \({I_1}\left( { – \sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right)\) và \({I_2}\left( {\sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right)\)

Điểm đặc biệt 

\(y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} = 1 \hfill \cr
{x^2} = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \pm 1 \hfill \cr
x = \pm \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)

Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

b) Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm \(\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) khi và chỉ khi 

\({y_o} = x_o^4 – \left( {m + 1} \right)x_o^2 + m \Leftrightarrow \left( {1 – x_o^2} \right)m + x_o^4 – x_o^2 – {y_o} = 0\,\,\left( 1 \right)\)

Đồ thị đi qua điểm \(\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) với moi giá trị của \(m\) khi và chỉ khi phương trình \((1)\) nghiệm đúng với mọi \(m\), tức là:

\(\left\{ \matrix{
1 – x_o^2 = 0 \hfill \cr
x_o^4 – x_o^2 – {y_o} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_o} = 1 \hfill \cr
{y_o} = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\text{ hoặc }\,\,\,\,\left\{ \matrix{
{x_o} = – 1 \hfill \cr
{y_o} = 0 \hfill \cr} \right.\)

Vậy với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định \((-1;0)\) và \((1;0)\).