Bài 49 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 49.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {{x – 2} \over {2x + 1}}\)
b) Chứng minh rằng giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.

Giải

a) TXĐ: \(R\backslash \left\{ { – {1 \over 2}} \right\}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – {1 \over 2}} \right)}^ + }} y =  – \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – {1 \over 2}} \right)}^ – }} y =  + \infty \) nên đường thẳng \(x =  – {1 \over 2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y = {1 \over 2}\) nên đường thẳng \(y = {1 \over 2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị.

\(y’ = {{\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr
2\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|} \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = {5 \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne  – {1 \over 2}\)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \infty ; – {1 \over 2}} \right)\) và \(\left( { – {1 \over 2}; + \infty } \right)\)
Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại điểm \((0;-2)\) và cắt trục hoành tại điểm \((2;0)\).

b) Giao điểm hai tiệm cận của đồ thị \(I\left( { – {1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\)
Công thức đổi trục tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow {OI} \) là:

\(\left\{ \matrix{
x = X – {1 \over 2} \hfill \cr
y = Y + {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Phương trình của đồ thị \((C)\) đối với trục \(IXY\):

\(Y + {1 \over 2} = {{X – {1 \over 2} – 2} \over {2\left( {X – {1 \over 2}} \right) + 1}} \Leftrightarrow Y + {1 \over 2} = {{X – {5 \over 2}} \over {2X}} \Leftrightarrow Y =  – {5 \over {4X}}\)

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhân I làm tâm đối xứng.