Bài 5 trang 39 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1


    Đề bàiRút gọn các biểu thức:a) \(\left( {\dfrac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a  + 1}} - \dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a  - 1}}} \right)\left( {\sqrt a  - \dfrac{1}{a}} \right)\); b) \(\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{x}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 2}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}}}...

    Đề bài

    Rút gọn các biểu thức:

    a) \(\left( {\dfrac{{\sqrt a  – 1}}{{\sqrt a  + 1}} – \dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a  – 1}}} \right)\left( {\sqrt a  – \dfrac{1}{a}} \right)\); 

    b) \(\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} – \dfrac{1}{x}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  – 2}} – \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  – 1}}} \right)\);

    c) \(\dfrac{{\sqrt x  + 7x + 13}}{{x + 3\sqrt x  – 10}} + \dfrac{{\sqrt x  + 5}}{{2 – \sqrt x }} – \dfrac{{\sqrt x  – 4}}{{\sqrt x  + 5}}\). 

    d) \(\left( {\dfrac{{\left( {16 – \sqrt a } \right)\sqrt a }}{{a – 4}} + \dfrac{{3 + 2\sqrt a }}{{2 – \sqrt a }} – \dfrac{{2 – 3\sqrt a }}{{\sqrt a  + 2}}} \right):\dfrac{1}{{a + 4\sqrt a  + 4}}\).

    Phương pháp giải – Xem chi tiếtBài 5 trang 39 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

    +) Tìm điều kiện của x  để biểu thức A xác định.

    +) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi để rút gọn biểu thức.

    Lời giải chi tiết

    \(a)\;\left( {\dfrac{{\sqrt a  – 1}}{{\sqrt a  + 1}} – \dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a  – 1}}} \right)\left( {\sqrt a  – \dfrac{1}{a}} \right)\)

    Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\a \ne 0\\\sqrt a  – 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\a \ne 1\end{array} \right..\)

    \(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{{\sqrt a  – 1}}{{\sqrt a  + 1}} – \dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a  – 1}}} \right)\left( {\sqrt a  – \dfrac{1}{a}} \right)\\ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt a  – 1} \right)}^2} – {{\left( {\sqrt a  + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  – 1} \right)}}\left( {\dfrac{{a\sqrt a  – 1}}{a}} \right)\\ = \dfrac{{a – 2\sqrt a  + 1 – a – 2\sqrt a  – 1}}{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  – 1} \right)}}.\dfrac{{\left( {\sqrt a  – 1} \right)\left( {a + \sqrt a  + 1} \right)}}{a}\\ = \dfrac{{ – 4\sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}}.\dfrac{{a + \sqrt a  + 1}}{a}\\ = \dfrac{{ – 4\left( {a + \sqrt a  + 1} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)}}\\ =  – \dfrac{{4a + 4\sqrt a  + 4}}{{a + \sqrt a }} \\=  – \left( {4 + \dfrac{4}{{a + \sqrt a }}} \right).\end{array}\)

    \(b)\;\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} – \dfrac{1}{x}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  – 2}} – \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  – 1}}} \right)\)

    Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 0\\\sqrt x  – 2 \ne 0\\\sqrt x  – 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 4\\x \ne 1\end{array} \right..\)

    \(\begin{array}{l}\;\;\;\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} – \dfrac{1}{x}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  – 2}} – \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  – 1}}} \right)\\ = \dfrac{{\sqrt x  – 1}}{x}:\dfrac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  – 1} \right) – \left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  – 1} \right)\left( {\sqrt x  – 2} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt x  – 1}}{x}:\dfrac{{x – 1 – x + 4}}{{\left( {\sqrt x  – 1} \right)\left( {\sqrt x  – 2} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt x  – 1}}{x}.\dfrac{{\left( {\sqrt x  – 1} \right)\left( {\sqrt x  – 2} \right)}}{3}\\ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x  – 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  – 2} \right)}}{{3x}}.\end{array}\)

    \(\begin{array}{l}c)\;\dfrac{{\sqrt x  + 7x + 13}}{{x + 3\sqrt x  – 10}} + \dfrac{{\sqrt x  + 5}}{{2 – \sqrt x }} – \dfrac{{\sqrt x  – 4}}{{\sqrt x  + 5}}\\C = \;\dfrac{{\sqrt x  + 7x + 13}}{{\left( {\sqrt x  – 2} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} – \dfrac{{\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x  – 2}} – \dfrac{{\sqrt x  – 4}}{{\sqrt x  + 5}}\end{array}\)

    Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x  – 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\end{array} \right..\)

    \(\begin{array}{l}C = \;\dfrac{{\sqrt x  + 7x + 13}}{{\left( {\sqrt x  – 2} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} – \dfrac{{\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x  – 2}} – \dfrac{{\sqrt x  – 4}}{{\sqrt x  + 5}}\\ = \dfrac{{\sqrt x  + 7x + 13 – {{\left( {\sqrt x  + 5} \right)}^2} – \left( {\sqrt x  – 4} \right)\left( {\sqrt x  – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  – 2} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}\\ = \dfrac{{7x + \sqrt x  + 13 – x – 10\sqrt x  – 25 – x + 6\sqrt x  – 8}}{{\left( {\sqrt x  – 2} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}\\ = \dfrac{{5x – 3\sqrt x  – 20}}{{\left( {\sqrt x  – 2} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}\end{array}\)

    \(d)\;\left( {\dfrac{{\left( {16 – \sqrt a } \right)\sqrt a }}{{a – 4}} + \dfrac{{3 + 2\sqrt a }}{{2 – \sqrt a }} – \dfrac{{2 – 3\sqrt a }}{{\sqrt a  + 2}}} \right):\dfrac{1}{{a + 4\sqrt a  + 4}}\)

    Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\2 – \sqrt a  \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\a \ne 4\end{array} \right..\)

    \(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{{\left( {16 – \sqrt a } \right)\sqrt a }}{{a – 4}} + \dfrac{{3 + 2\sqrt a }}{{2 – \sqrt a }} – \dfrac{{2 – 3\sqrt a }}{{\sqrt a  + 2}}} \right):\dfrac{1}{{a + 4\sqrt a  + 4}}\\ = \dfrac{{16\sqrt a  – a – \left( {2\sqrt a  + 3} \right)\left( {\sqrt a  + 2} \right) – \left( {2 – 3\sqrt a } \right)\left( {\sqrt a  – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a  – 2} \right)\left( {\sqrt a  + 2} \right)}}:\dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{16\sqrt a  – a – 2a – 7\sqrt a  – 6 + 4 – 8\sqrt a  + 3a}}{{\left( {\sqrt a  – 2} \right)\left( {\sqrt a  + 2} \right)}}.{\left( {\sqrt a  + 2} \right)^2}\\ = \dfrac{{\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a  – 2} \right)\left( {\sqrt a  + 2} \right)}}{\left( {\sqrt a  + 2} \right)^2} \\= \dfrac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 2} \right)}}{{\sqrt a  – 2}}.\end{array}\)