Bài 5 trang 99 SGK Hình học 12


    Đề bàiCho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AD\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Biết rằng \(AC = AD = 4 cm\), \(AB = 3 cm, BC = 5 cm\).a) Tính thể tích tứ diện \(ABCD\).b) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) tới mặt phẳng \((BCD)\).Phương pháp giải - Xem...

    Đề bài

    Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AD\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Biết rằng \(AC = AD = 4 cm\), \(AB = 3 cm, BC = 5 cm\).

    a) Tính thể tích tứ diện \(ABCD\).

    b) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) tới mặt phẳng \((BCD)\).

    Phương pháp giải – Xem chi tiếtBài 5 trang 99 SGK Hình học 12

    Chọn hệ toạ độ gốc là điểm \(A\), các đường thẳng \(AB, AC, AD\) theo thứ tự là các trục \(Ox, Oy, Oz\).

    Xác định tọa độ các điểm A, B, C, D.

    a) \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.AC.AD\).

    b) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) ở dạng đoạn chắn \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) và sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.

    Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\,\,\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2} > 0} \right)\) là: \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

    Lời giải chi tiết

    Bài 5 trang 99 SGK Hình học 12

    Chọn hệ toạ độ gốc là điểm \(A\), các đường thẳng \(AB, AC, AD\) theo thứ tự là các trục \(Ox, Oy, Oz\).

    Ta có: \(A(0; 0; 0), B(3; 0; 0);C(0; 4; 0), D(0; 0; 4)\)

    Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (3; 0; 0) \Rightarrow AB = 3\)

               \(\overrightarrow {AC}  = (0; 4; 0)  \Rightarrow AC = 4\)

               \(\overrightarrow {AD}  = (0; 0; 4) \Rightarrow AD = 4\)

    \(V_{ABCD}\) = \({1 \over 6}AB.AC.AD = 8 (cm^3)\)

    b) Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng \((BDC)\) là:

    \({x \over 3} + {y \over 4} + {z \over 4} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y + 3z – 12 = 0\)

    Từ đây ta có: \(d(A, (BDC)) ={{\left| {12} \right|} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2} + {3^2}} }} = {{12} \over {\sqrt {34} }}\)