Bài 51 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 51

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}}\)

b) Chứng minh rằng giao điểm \(I\) của đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.

c) Tùy theo các giá trị của \(m\), hãy biện luận số nghiệm của phương trình:

\({{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}} + m = 0\)

Giải

a) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { – 2} \right\}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {2^ + }} y =  + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {2^ – }} y =  – \infty \) nên \(x = -2\) là tiệm cận đứng.

Ta có: \(y = 2x + 1 + {2 \over {x + 2}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y – \left( {2x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {2 \over {x + 2}} = 0\) nên \(y = 2x + 1\) là tiệm cận xiên

\(\eqalign{
& y’ = 2 – {2 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{2\left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} – 1} \right]} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \cr
& y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 1;\,\,y\left( { – 1} \right) = 1 \hfill \cr
x = – 3;\,\,y\left( { – 3} \right) = – 7 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Bảng biến thiên:

Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y = 2\)

b) Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị là nghiệm của hệ.

\(\left\{ \matrix{
x = – 2 \hfill \cr
y = 2x + 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – 2 \hfill \cr
y = – 3 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(I\left( { – 2; – 3} \right)\)
Công thức đổi trục tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {OI} \) là

\(\left\{ \matrix{
x = X – 2 \hfill \cr
y = Y – 3 \hfill \cr} \right.\)

Ta có:

\(\eqalign{
& Y – 3 = 2(X – 2) + 1 + {2 \over {X – 2 + 2}} \cr
& \Leftrightarrow Y – 3 = 2X – 4 + 1 + {2 \over X} \cr
& \Leftrightarrow Y = 2X + {2 \over X} \cr} \)

Hàm số là hàm số lẻ nên đồ thị của hàm số nhận gốc \(I\) làm tâm đối xứng.

c) Ta có: \({{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}} + m = 0 \Leftrightarrow {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}} =  – m\)
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị \((C)\) hàm số và đường thẳng \(y = -m\).
Dựa vào đồ thị ta có:
+) \(- m< -7\) hoặc \(–m>1\) \( \Leftrightarrow m > 7\) hoặc \(m< -1\): phương trình có \(2\) nghiệm;
+) \(-m=-7\) hoặc \(–m = 1  \Leftrightarrow  m = 7\) hoặc \(m = -1\): phương trình có \(1\) nghiệm;
+) \(- 7<m< 1  \Leftrightarrow  -1 < m < 7\): phương trình vô nghiệm.