Bài 52 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao


    Chứng minh định lý về dấu của tam thức bậc 2.Hướng dẫn: Với các trường hợp Δ < 0 và Δ = 0, sử dụng hệ thức đã biết: \(f(x) = a{\rm{[(x}}\,{\rm{ + }}{b \over {2a}}{)^2} - {\Delta  \over {4{a^2}}}{\rm{]}}\)Hay \(af(x) = {a^2}[{(x + {b \over {2a}})^2} - {\Delta  \over {4{a^2}}}]\)Trong...

    Chứng minh định lý về dấu của tam thức bậc 2.

    Hướng dẫn: Với các trường hợp Δ < 0 và Δ = 0, sử dụng hệ thức đã biết:

     \(f(x) = a{\rm{[(x}}\,{\rm{ + }}{b \over {2a}}{)^2} – {\Delta  \over {4{a^2}}}{\rm{]}}\)

    Hay \(af(x) = {a^2}[{(x + {b \over {2a}})^2} – {\Delta  \over {4{a^2}}}]\)

    Trong trường hợp Δ > 0, sử dụng hệ thức đã biết:

    f(x) = a(x – x1)(x – x2) hay af(x) = a2(x – x1)(x – x2)

    trong đó, x1 và x2 là hai nghiệm của tam thức bậc hai f(x)

    Đáp án

    Ta có: \(af(x) = {a^2}[{(x + {b \over {2a}})^2} – {\Delta  \over {4{a^2}}}]\)

    + Nếu Δ < 0  thì af(x) > 0 với mọi x ∈ R, tức f(x) cùng dấu với a với mọi x ∈ R

    + Nếu Δ = 0 thì \(af(x) = {a^2}{(x + {b \over {2a}})^{^2}}\) khi đó af(x) > 0 với mọi \(x \ne  – {b \over {2a}}\)

    + Nếu Δ > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 và:

    f(x) = a(x – x1)(x – x2)

    Do đó: af(x) = a2(x – x1)(x – x2)

    Vậy af(x) có cùng dấu với tích (x – x1)(x – x2).

    Dấu của tích này được cho trong bảng sau (x1 < x2)

    Bài 52 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao 

    Do đó: af(x) < 0 với mọi x ∈ (x1, x2)

    Và af(x) > 0 với mọi x < x1 hoặc x > x2