Bài 52 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 52. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 

a) \(y = {{{x^2} – 3x + 6} \over {x – 1}}\)            b) \(y = {{2{x^2} – x + 1} \over {1 – x}}\)
c) \(y = {{2{x^2} + 3x – 3} \over {x + 2}}\)          d) \(y =  – x + 2 + {1 \over {x – 1}}\)

Giải

a) \(y =  x- 2 + {4 \over {x – 1}}\)
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y =  – \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y – \left( {x – 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {4 \over {x – 1}} = 0\) nên \(y = x – 2\) là tiệm cận xiên.

\(\eqalign{
& y’ = 1 – {4 \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = {{{{\left( {x – 1} \right)}^2} – 4} \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = {{\left( {x – 3} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} \cr
& y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 1;\,\,\,y\left( { – 1} \right) = -5 \hfill \cr
x = 3;\,\,\,y\left( 3 \right) = 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y =  – 6\)

Đồ thị nhận giao điểm \(I(1;-1)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

b) \(y = {{ – 2{x^2} + x – 1} \over {x – 1}}\)  

\(y =  – 2x – 1 – {2 \over {x – 1}}\)

TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\)
Tiệm cận đứng: \(x = 1\)
Tiệm cận xiên: \(y = -2x – 1\)

\(\eqalign{
& y’ = – 2 + {2 \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = {{ – 2{{\left( {x – 1} \right)}^2} + 2} \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = {{ – 2{x^2} + 4x} \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} \cr
& y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;\,\,\,\,\,y\left( 0 \right) = 1 \hfill \cr
x = 2;\,\,\,\,\,\,y\left( 2 \right) = – 7 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Điểm đặc biết:

\(x =  0 \Rightarrow y = 1\)

\(x =  -1 \Rightarrow y = 2\)
Đồ thị:

Đồ thị nhận \(I(1;-3)\) làm tâm đối xứng.
c) \(y = 2x – 1 – {1 \over {x + 2}}\)

• TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { – 2} \right\}\)
• Tiệm cận đứng: \(x = 2\)
Tiệm cận xiên: \(y = 2x -1\)
• \(y’ = 2 + {1 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne  – 2\)

• Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y =  – {3 \over 2}\)

Đồ thị nhận \(I(-2; -5)\) làm tâm đối xứng.
d) \(y =  – x + 2 + {1 \over {x – 1}}\)
• TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\)
• Tiệm cận đứng: \(x = 1\)
Tiệm cận xiên \(y = -x +2\)
• \(y’ =  – 1 – {1 \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 1\)

• Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y = 1\)

Đồ thị nhận điểm \(I(1;-1)\) làm tâm đối xứng.