Bài 56 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 56

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số \(y = {{{x^2}} \over {x + 1}}\)

b) Từ đồ thị \((C)\) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số \(y = {{{x^2}} \over {\left| {x + 1} \right|}}\)

Giải

a) \(D = R\backslash \left\{ { – 1} \right\}\)

\(\eqalign{
& y’ = {{{x^2} + 2x} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cr
& y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = – 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; – 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2;-1)\) và \((1;0)\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), \(y_{CĐ}=-4\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), \(y_{CT}=0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {1^ + }} y =  + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {1^ – }} y =  – \infty \)

Vậy \(x=-1\) là tiệm cận đứng.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y – (x – 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {{1 \over {x + 1}}} \right) = 0\)

Vậy \(y=x-1\) là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên

Đồ thị

Đồ thị giao \(Ox\), \(Oy\) tại \(O(0;0)\)

\(x=-2\rightarrow y=-4\)

b) Ta có 

\(y = {{{x^2}} \over {\left| {x + 1} \right|}} = \left\{ \matrix{
{{{x^2}} \over {x + 1}}\,\,\text{nếu} \,x > – 1 \hfill \cr
– {{{x^2}} \over {x + 1}}\,\,\text{ nếu }\,x < – 1 \hfill \cr} \right.\)

Giữ nguyên phần đồ thị \((C)\) ở bên phải tiệm cận đứng \(x = -1\) và lấy đối xứng của phần \((C)\) bên trái tiệm cận đứng qua trục hoành.