Bài 6 trang 190 SGK Giải tích 12 nâng cao

Bài 6. Chứng minh rằng:

a) Phần thực của số phức z bằng \({1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right)\), phần ảo của số phức z bằng \({1 \over {2i}}\left( {z – \overline z } \right);\)

b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi \(z =  – \overline z ;\)

c) Với mọi số phức z, z’, ta có \(\overline {z + z’}  = \overline z  + \overline {z’},\,\overline {zz’}  = \overline z.\,\overline {z’} \), và nếu \(z \ne 0\) thì \({{\overline {z’} } \over {\overline z }} = \overline {\left( {{{z’} \over z}} \right)} \).

Giải

a) Giả sử \(z=a+bi\;(a,b\in\mathbb R)\) thì \(\overline z  = a – bi\)

Từ đó suy ra \(a = {1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right);\,\,b = {1 \over {2i}}\left( {z – \overline z } \right)\)

b) z là số ảo khi và chỉ khi phần thực của z bằng 0

   \(\Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right) = 0 \Leftrightarrow z =  – \overline z \)

c) Giả sử \(z=a+bi;\; z’=a’+b’i\) \((a,b,a’,b’\in\mathbb R)\)

Ta có: 

\(\eqalign{
& \overline {z + z’} = \overline {(a + a’) + (b + b’)i} = a + a’ – (b + b’)i \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = a – bi + a’ – b’i = \overline z + \overline {z’} \cr
& \overline {z.z’} = \overline {\left( {a + bi} \right).\left( {a’ + b’i} \right)} = \overline {\left( {aa’ – bb’} \right) + \left( {ab’ + a’b} \right)i} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = aa’ – bb’ – \left( {ab’ + a’b} \right)i \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {a – bi} \right)\left( {a’ – b’i} \right) = \overline z.\overline {z’} \cr
& \overline {\left( {{{z’} \over z}} \right)} = \overline {\left( {{{z’.\overline z } \over {z.\overline z }}} \right)} = {1 \over {z.\overline z }}.\overline {z’}.\overline {\overline z } = {1 \over {z.\overline z }}.\overline {z’}.z = {{\overline {z’} } \over {\overline z }} \cr} \)