Bài 63 trang 123 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 63. Giải các phương trình sau:

\(\eqalign{
& a)\,{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{2x}} = 2 – \sqrt 3 ; \cr
& c)\,{2.3^{x + 1}} – {6.3^{x – 1}} – {3^x} = 9; \cr} \)     

\(\eqalign{
& b)\,{2^{{x^2} – 3x + 2}} = 4; \cr
& d){\log _3}\left( {{3^x} + 8} \right) = 2 + x. \cr} \)

giải

a) Ta có \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 – \sqrt 3 } \right) = 1\) nên \(2 – \sqrt 3  = {1 \over {2 + \sqrt 3 }} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ – 1}}\)
Do đó \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{2x}} = 2 – \sqrt 3  \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{2x}} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ – 1}} \Leftrightarrow 2x =  – 1 \Leftrightarrow x =  – {1 \over 2}\)
Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \left\{ { – {1 \over 2}} \right\}\)
b)

\({2^{{x^2} – 3x + 2}} = 4 \Leftrightarrow {2^{{x^2} – 3x + 2}} = {2^2} \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 = 2 \Leftrightarrow {x^2} – 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ {0;3} \right\}\)
c)

\(\eqalign{
& {2.3^{x + 1}} – {6.3^{x – 1}} – {3^x} = 9 \Leftrightarrow {6.3^x} – {6 \over 3}{.3^x} – {3^x} = 9 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {3.3^x} = 9 \Leftrightarrow {3^x} = 3 \Leftrightarrow x = 1 \cr} \)

vậy \(S = \left\{ 1 \right\}\)
d)

\(\eqalign{
& {\log _3}\left( {{3^x} + 8} \right) = 2 + x \Leftrightarrow {3^x} + 8 = {3^{2 + x}} \Leftrightarrow {3^x} + 8 = {9.3^x} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {8.3^x} = 8 \Leftrightarrow {3^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0 \cr} \)

Vậy  \(S = \left\{ 0 \right\}\)