Bài 64 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 64.Cho hàm số \(y = {{a{x^2} – bx} \over {x – 1}}\)

a) Tìm \(a\) và \(b\) biết rằng đồ thị \((C)\) của hàm số đã cho đi qua điểm \(A\left( { – 1;{5 \over 2}} \right)\) và tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(O(0;0)\) có hệ số bằng \(-3\).

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của \(a\) và \(b\) đã tìm được.

Giải

a) Ta có: \({M_o} \in \left( C \right)\) \(y’ = {{\left( {12ax – b} \right)\left( {x – 1} \right) – \left( {a{x^2} – bx} \right)} \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\)

Đồ thị \((C)\) đi qua \(A\left( { – 1;{5 \over 2}} \right)\) \( \Leftrightarrow y\left( { – 1} \right) = {5 \over 2} \Leftrightarrow {{a + b} \over { – 2}} = {5 \over 2} \Leftrightarrow a + b =  – 5\,\,\,\left( 1 \right)\)

Tiếp tuyến của \((C)\) tại \(O(0;0)\) có hệ số góc bằng \(-3\) khi và chỉ khi \(y’(0) = -3 \)\( \Leftrightarrow b =  – 3\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(a = -2; b = – 3\).

b) Với \(a = -2; b = – 3\) ta có: \(y = {{ – 2{x^3} + 3x} \over {x – 1}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y’ = {{ – 2{x^2} + 4x – 3} \over {{{(x – 1)}^2}}} < 0\,\forall x \in D\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng: \(( – \infty ;1)\) và \((1; + \infty )\)

Hàm số không có cực trị

Giới hạn:

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to  {1^ – }}  =  – \infty ;\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to   {1^ + }}  =  + \infty \)

Tiệm cận đứng là: \(x=1\)

\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{ – 2{x^2} + 3x} \over {{x^2} – x}} = – 2 \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (y + 2x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{ – 2{x^2} + 3x} \over {x – 1}} + 2x} \right) = 1 \cr} \)

Tiệm cận xiên là: \(y=-2x+1\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;0)\) và \(\left( {{3 \over 2};0} \right)\)