Bài 66 trang 151 SGK Đại số 10 nâng cao


    Giải các phương trình sau: a) \(\sqrt {2{x^2} + 4x - 1}  = x + 1\)b) \(\sqrt {4{x^2} + 101x + 64}  = 2(x + 10)\)c) \(\sqrt {{x^2} + 2x}  =  - 2{x^2} - 4x + 3\)d) \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)}  = {x^2} + 3x - 4\)Hướng dẫn:c)...

    Giải các phương trình sau:
    a) \(\sqrt {2{x^2} + 4x – 1}  = x + 1\)

    b) \(\sqrt {4{x^2} + 101x + 64}  = 2(x + 10)\)

    c) \(\sqrt {{x^2} + 2x}  =  – 2{x^2} – 4x + 3\)

    d) \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)}  = {x^2} + 3x – 4\)

    Hướng dẫn:

    c) Đặt \(y = \sqrt {{x^2} + 2x} ;\,y \ge 0\) ,

    ta được phương trình: y = -2y2 + 3

    d) Vì (x + 1)(x + 2) = x2 + 3x + 2 nên ta đặt \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)}  = y;\,\,y \ge 0\)   ,

    ta được phương trình y = y2 – 6   

    Đáp án

    a) Ta có:

    \(\eqalign{
    & \sqrt {2{x^2} + 4x – 1} = x + 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    x \ge – 10 \hfill \cr
    2{x^2} + 4x – 1 = {(x + 1)^2} \hfill \cr} \right. \cr
    & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    x \ge – 1 \hfill \cr
    {x^2} + 2x + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = – 1 + \sqrt 3 \cr} \)

    Vậy \(S = {\rm{\{ }} – 1 + \sqrt 3 {\rm{\} }}\)

    b) Ta có:

    \(\eqalign{
    & \sqrt {4{x^2} + 101x + 64} = 2(x + 10)\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    x \ge – 10 \hfill \cr
    4{x^2} + 101x + 64 = 4{(x + 10)^2} \hfill \cr} \right. \cr
    & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    x \ge – 10 \hfill \cr
    21x = 336 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 16 \cr} \) 

    Vậy S = {16}

    c) Đặt \(y = \sqrt {{x^2} + 2x} ;\,y \ge 0\) , ta có phương trình:

    \(\eqalign{
    & y = – 2{y^2} + 3 \Leftrightarrow 2{y^2} + y – 3 = 0 \cr
    & \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    y = 1 \hfill \cr
    y = – {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)

    Ta thấy y = 1 thỏa mãn điều kiện y ≥ 0

    Nên: \(y = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x}  = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x – 1 = 0\)

    \(\Leftrightarrow x =  – 1 \pm \sqrt 2 \)

    Vậy \(S = {\rm{\{ }} – 1 – \sqrt 2, – 1 + \sqrt 2 {\rm{\} }}\)

    d) Đặt \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)}  = y;\,\,y \ge 0\) , suy ra:

    x2 + 3x = y2 – 2

    Ta có phương trình:

    \(y = {y^2} – 6 \Leftrightarrow {y^2} – y – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    y = 3 \hfill \cr
    y = – 2 \hfill \cr} \right.\)

    Ta thấy y = 3 thỏa mãn điều kiện y ≥ 0, nên:

    \(\eqalign{
    & y = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x – 7 = 0 \cr
    & \Leftrightarrow x = {{ – 3 \pm \sqrt {37} } \over 2} \cr} \)

    Vậy: \(S = {\rm{\{ }}{{ – 3 – \sqrt {37} } \over 2};\,{{ – 3 + \sqrt {37} } \over 2}{\rm{\} }}\)