Bài 68 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 68. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(\tan x > x,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\);

b) \(\tan x > x + {{{x^3}} \over 3},\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Hướng dẫn: a) Chứng minh rằng hàm số: \(f\left( x \right) = \tan x – x\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Giải

a) Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x – x\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và có đạo hàm \(f’\left( x \right) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} – 1 > 0\,\,\forall x\left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Do đó hàm số \(f\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) 

Từ đó: \(f\left( x \right) > f\left( 0 \right)\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right) \Leftrightarrow \tan x – x > 0\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

b) Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x – x – {{{x^3}} \over 3}\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và có đạo hàm \(f’\left( x \right) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} – 1 = {\tan ^2}x – {x^2} > 0\,\,\forall x\left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) (suy ra từ a)).

Do đó hàm số \(f\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và khi đó 

\(f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right) \Rightarrow \tan x > x + {{{x^3}} \over 3}\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)