Bài 7 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = 3x\sqrt {7 – 3{x^2}} ;\)           

\(b)\,f\left( x \right) = \cos \left( {3x + 4} \right);\)                

c) \(f\left( x \right) =  – {1 \over {{{\cos }^2}\left( {3x + 2} \right)}};\)                     

d) \(f\left( x \right) = {\sin ^5}{x \over 3}\cos {x \over 3}.\) 

Giải

a) Đặt \(u = \sqrt {7 – 3{x^2}}  \Rightarrow {u^2} = 7 – 3{x^2} \Rightarrow 2udu =  – 6xdx \Rightarrow 3xdx =  – udu\)

Do đó \(\int {3x\sqrt {7 – 3{x^2}} dx =  – \int {{u^2}du =  – {{{u^3}} \over 3} + C}  =  – {1 \over 3}\sqrt {{{\left( {7 – 3{x^2}} \right)}^3}}  + C} \) 

b) \(\int {\cos \left( {3x + 4} \right)dx = {1 \over 3}\sin \left( {3x + 4} \right) + C} \)      

c) \(\int {{{dx} \over {{{\cos }^2}\left( {3x + 2} \right)}} = {1 \over 3}\tan \left( {3x + 2} \right) + C} \)      

d) Đặt \(u = \sin {x \over 3} \Rightarrow du = {1 \over 3}\cos {x \over 3}dx \Rightarrow \cos {x \over 3}dx = 3du\) 

Do đó \(\int {{{\sin }^5}{x \over 3}\cos {x \over 3}dx = 3\int {{u^5}du = {{{u^6}} \over 2} + C = {1 \over 2}{{\sin }^6}\left( {{x \over 3}} \right) + C.} } \)