Bài 7 trang 39 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1


    Đề bài\(P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}} - 1} \right)\).a) Rút gọn P.b) Tìm x để \(P < \dfrac{1}{2}\).c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.Phương...

    Đề bài

    \(P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  – 3}} – \dfrac{{3x + 3}}{{x – 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x  – 2}}{{\sqrt x  – 3}} – 1} \right)\).

    a) Rút gọn P.

    b) Tìm x để \(P < \dfrac{1}{2}\).

    c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

    Phương pháp giải – Xem chi tiếtBài 7 trang 39 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

    a) Tìm điều kiện của x  để biểu thức P xác định.

    +) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi để rút gọn biểu thức.

    b) Với biểu thức đã rút gọn của P, giải bất phương trình \(P < \dfrac{1}{2}.\)

    +) Kết hợp với điều kiện của x để kết luận.

    c) Biến đổi hoặc đánh giá để tìm GTNN.

    Lời giải chi tiết

    a) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x  – 3 \ne 0\\x – 9 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 9\end{array} \right..\)

    \(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  – 3}} – \dfrac{{3x + 3}}{{x – 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x  – 2}}{{\sqrt x  – 3}} – 1} \right)\\ = \dfrac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  – 3} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right) – 3x – 3}}{{\left( {\sqrt x  – 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}:\dfrac{{2\sqrt x  – 2 – \sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  – 3}}\\ = \dfrac{{2x – 6\sqrt x  + x + 3\sqrt x  – 3x – 3}}{{\left( {\sqrt x  – 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x  – 3}}{{\sqrt x  + 1}}\\ = \dfrac{{ – 3\sqrt x  – 3}}{{\sqrt x  + 3}}.\dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}}\\ =  – \dfrac{{3\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} \\=  – \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}}.\end{array}\)

    b) Điều kiện:\(x \ge 0;\;\;x \ne 9.\)

    \(\begin{array}{l}P < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow  – \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}} < \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{1}{2} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6 + \sqrt x  + 3}}{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 9}}{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} > 0\end{array}\)

    Ta thấy với mọi \(x \ge 0\) thì \(\dfrac{{\sqrt x  + 9}}{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} > 0.\)

    Vậy với \(x \ge 0,\;\;x \ne 9\) thì \(P < \dfrac{1}{2}.\)

    c) Điều kiện:\(x \ge 0;\;\;x \ne 9.\)

    Ta có: \(P =  – \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}}\)

    \(\sqrt x  \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 3 \ge 3\)\(\; \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x  + 3}} \le \dfrac{1}{3}\)\(\; \Rightarrow \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt x  + 3}} \ge  – \dfrac{3}{3} =  – 1.\)

    Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow x = 0.\)

    Vậy \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( – 1\) khi \(x = 0.\)

     BaitapSachgiaokhoa.com