Bài 77 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 77. Cho hàm số: \(y = {{x – 4m} \over {2\left( {mx – 1} \right)}}.\,\,\,\left( {{H_m}} \right)\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m =1.
b) Chứng minh rằng với mọi \(m \ne  \pm {1 \over 2}\), các đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) đều đi qua hai điểm cố định A và B.

Giải

a) m=1 hàm số có dạng: \(y = {{x – 4} \over {2x – 2}}\)

Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y’ = {6 \over {{{\left( {2x – 2} \right)}^2}}} > 0\,,\forall x \in D\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Hàm số không có cực trị

Giới hạn:

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ – }}  =  + \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }}  =  – \infty \)

Đường tiệm cận đứng: \(x=1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = {1 \over 2}\)

Đường tiệm cận ngang \(y={1 \over 2}\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị giao Ox, Oy tại các điểm: (4;0); (0;2)

b) Gọi \(M\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) là một điểm bất kì của mặt phẳng tọa độ. Đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) đi qua điểm M khi và chỉ khi m là nghiệm của phương trình \({{{x_o} – 4m} \over {2\left( {m{x_o} – 1} \right)}} = {y_o}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m{x_o} – 1 \ne 0 \hfill \cr
2{y_o}\left( {m{x_o} – 1} \right) = {x_o} – 4m \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m{x_o} \ne 1\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr
\left( {2{x_o}{y_o} + 4} \right)m – {x_o} – 2{y_o} = 0\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)

Mọi đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) với \(m \ne  \pm {1 \over 2}\) đều đi qua điểm \(M\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) khi và chỉ khi hệ phương trình trên nghiệm đúng với mọi \(m \ne  \pm {1 \over 2}\).

Phương trình (2) nghiệm đúng với mọi m khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{
2{x_o}{y_o} + 4 = 0 \hfill \cr
{x_o} + 2{y_o} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_o} = – 2 \hfill \cr
{y_o} = 1 \hfill \cr} \right.\,\,hoac\,\,\left\{ \matrix{
{x_o} = 2 \hfill \cr
{y_o} = – 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) =(-2;1) và \(\left( {{x_o};{y_o}} \right)\)=(2;-1)

Ta kiểm tra điều kiện (1)
• Với \({x_o} =  – 2\), ta có \(m \ne  – {1 \over 2}\)

•Với \({x_o} = 2\), ta có \(m \ne {1 \over 2}\)

Vậy mọi đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) với \(m \ne  \pm {1 \over 2}\) đều đi qua hai điểm cố định A(-2; 1) và B(2; – 1).
c) Ta có \(y’ = {{4{m^2} – 1} \over {2{{\left( {mx – 1} \right)}^2}}}\)

Hệ số góc tiếp tuyến với \(\left( {{H_m}} \right)\) tại A(-2; 1) và \(B(2; – 1)\) là y’(-2);y'(2).
Ta có tích hai hệ số góc tiếp tuyến tại A và B là:

\(y’\left( { – 2} \right).y’\left( 2 \right) = {{4{m^2} – 1} \over {2{{\left( {-2m – 1} \right)}^2}}}.{{4{m^2} – 1} \over {2{{\left( {2m – 1} \right)}^2}}} = {1 \over 4}\) là hằng số.