Bài 78 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao


    Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số saua) \(f(x) = |x + {1 \over x}|\)b) \(g(x) = {{{x^2} + 2} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\)Đáp ána) Vì với mọi x ≠ 0; x và \({1 \over x}\)  cùng dấu nên:\(f(x) = |x + {1 \over x}|\, =...

    Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

    a) \(f(x) = |x + {1 \over x}|\)

    b) \(g(x) = {{{x^2} + 2} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

    Đáp án

    a) Vì với mọi x ≠ 0; x và \({1 \over x}\)  cùng dấu nên:

    \(f(x) = |x + {1 \over x}|\, = \,|x| + {1 \over {|x|}} \ge 2\sqrt {|x|.{1 \over {|x|}}}  = 2\) với mọi x ≠ 0

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(|x|\, = \,{1 \over {|x|}} \Leftrightarrow \,|x|\, = 1\, \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

    Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là 2.

    b) Với mọi x ∈ R, ta có:

    \( g(x) = {{{x^2} + 1} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} + {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \)
    \(\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} + {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} + 1}.{1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}}=2\) (theo bất đẳng thức Cô-si)

    \(g(x) = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  = {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \)

    \(\Leftrightarrow {x^2} + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\)

    Vậy giá trị nhỏ nhất của g(x) là 2.