Bài 79 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 79. Cho hàm số: \(y = f\left( x \right) = x + {1 \over x}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm \(M\left( {{x_o};f\left( {{x_o}} \right)} \right)\) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường cong (C).

Giải

a) 

Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\)

\(\eqalign{
& y’ = 1 – {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} – 1} \over {{x^2}}} \cr 
& y’ = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 \cr} \)

Hàm số đồng biến trên khoảng: \(\left( { – \infty ; – 1} \right)\left( {1; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng: \(\left( { – 1;0} \right)\left( {0;1} \right)\)

+) Cực trị:

 Hàm số đạt cực đại tại: \(x=-1 ; y(-1)= -2\)

Hàm số đạt cực tiểu tại: \(x=1;y(1)=2\)

+) Giới hạn:

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ – }}  =  – \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ + }}  =  + \infty \)

Tiệm cận đứng: \(x=0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  \pm \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (y – x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {1 \over x} = 0\)

Tiệm cận xiên: \(y=x\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) Tiệm cận đứng x = 0; Tiệm cận xiên y = x.
Ta có \(f\left( x \right) = 1 – {1 \over {{x^2}}}\). Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm \(M\left( {{x_o};f\left( {{x_o}} \right)} \right)\) là \(y = \left( {1 – {1 \over {x_o^2}}} \right)\left( {x – {x_o}} \right) + {x_o} + {1 \over {{x_o}}}\)

Thay x = 0 vào phương trình trên, ta được tung độ của điểm A:

\({y_A} = \left( {1 – {1 \over {x_o^2}}} \right)\left( { – {x_o}} \right) + {x_o} + {1 \over {{x_o}}} = {2 \over {{x_o}}}\). Vậy \(A\left( {0;{2 \over {{x_o}}}} \right)\)

Hoành độ của điểm B là nghiệm của phương trình

\(\left( {1 – {1 \over {x_o^2}}} \right)\left( {x – {x_o}} \right) + {x_o} + {1 \over {{x_o}}} = x \Leftrightarrow  – {x \over {{x_o}}} + {2 \over {{x_o}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2{x_o}\)

\({x_B} = 2{x_o}\). Vậy \(B\left( {2{x_o};2{x_o}} \right)\)

Ta có: \({x_M} = {x_o} = {{0 + 2{x_o}} \over 2} = {{{x_A} + {x_B}} \over 2}\)

Vì ba điểm A, M, B thẳng hàng nên từ đó suy ra rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Diện tích tam giác OAB là

\(S = {1 \over 2}\left| {{y_A}} \right|\left| {{y_B}} \right| = {1 \over 2}\left| {{2 \over {{x_o}}}} \right|\left| {2{x_o} } \right|=2\,\,\,\forall {x_o} \ne 0\)