Bài 8 trang 147 SGK Giải tích 12


    Đề bàiTìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:a) \(f(x) = 2x^3– 3x^2– 12x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 2 ; \, {5 \over 2}} \right].\)b) \( f(x) = x^2lnx\) trên đoạn \(\left[ {1; \, e} \right].\)c) \(f(x) = xe^{-x}\) trên nửa khoảng \([0;...

    Đề bài

    Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

    a) \(f(x) = 2x^3– 3x^2– 12x + 1\) trên đoạn \(\left[ { – 2 ; \, {5 \over 2}} \right].\)

    b) \( f(x) = x^2lnx\) trên đoạn \(\left[ {1; \, e} \right].\)

    c) \(f(x) = xe^{-x}\) trên nửa khoảng \([0; \, +∞).\)

    d) \(f(x) = 2sinx + sin2x\) trên đoạn \(\left[ {0; \,{{3\pi } \over 2}} \right].\)

    Phương pháp giải – Xem chi tiếtBài 8 trang 147 SGK Giải tích 12

    Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) ta làm như sau :

    +) Tìm các điểm \({{x}_{1}};\ {{x}_{2}};\ {{x}_{3}};……;\ {{x}_{n}}\) thuộc đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) mà tại đó hàm số có đạo hàm \(f’\left( x \right)=0\) hoặc không có đạo hàm.

    +) Tính \(f\left( {{x}_{1}} \right);\ \ f\left( {{x}_{2}} \right);\ \ f\left( {{x}_{3}} \right);……..;\ \ f\left( {{x}_{n}} \right)\) và \(f\left( a \right);\ f\left( b \right).\)

    +) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\) và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\).

    \(\begin{align}& \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);…….;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ & \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);…….;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ \end{align}\)

    Lời giải chi tiết

    a) \(f(x) = 2x^3– 3x^2– 12x + 1 ⇒ f’(x) = 6x^2 – 6x – 12\)

    \(f’(x) = 0 ⇔ x =-1\) hoặc \(x=2\)

    So sánh các giá trị: 

    \(f(-2) = -3\); \( f(-1) = 8\);

    \(f(2) = -19\), \(f({5 \over 2}) = {{ – 33} \over 2}\)

    Suy ra:

    \(\eqalign{
    & \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { – 2,{5 \over 2}} \right]} f(x) = f( – 1) = 8 \cr
    & \mathop {min}\limits_{x \in \left[ { – 2,{5 \over 2}} \right]} f(x) = f(2) = – 19 \cr} \)

    b) \(f(x) = x^2 lnx ⇒ f’(x)= 2xlnx + x > 0, ∀ x ∈ [1, e]\) nên \(f(x)\) đồng biến.

    Do đó:

    \(\eqalign{
    & \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f(x) = f(e) = {e^2} \cr
    & \mathop {min}\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f(x) = f(1) = 0 \cr} \)

     c) \(f(x)= xe^{-x}⇒ f’(x)=e^{-x} –xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}\) nên:

    \(f’(x) = 0 ⇔ x = 1, f’(x) > 0, ∀x ∈ (0, 1)\) và \(f’(x) < 0, ∀x ∈ (1, +∞)\)

    nên: \(\mathop {\max }\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty )} f(x) = f(1) = {1 \over e}.\)

    Ngoài ra \(f(x)= xe^{-x} > 0, ∀ x ∈ (0, +∞)\) và \(f(0) = 0\) suy ra

     \(\mathop {\min}\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty )} f(x) = f(0) = 0\)

    d) \(f(x) = 2sinx + sin2x  ⇒ f’(x)= 2cosx + 2cos2x\)

    \(f’(x) = 0 ⇔ cos 2x = -cosx ⇔ 2x = ± (π – x) + k2π\)

    \(  ⇔ x \in \left\{ { – \pi  + k2\pi ;{\pi  \over 3} + {{k2\pi } \over 3}} \right\}\)

    Trong khoảng \(\left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]\) , phương trình \(f’(x) = 0\) chỉ có hai nghiệm là \({x_1} = {\pi  \over 3};{x_2} = \pi \)

    So sánh bốn giá trị: \(f(0) = 0\); \(f({\pi  \over 3}) = {{3\sqrt 3 } \over 2};f(\pi ) = 0;f({{3\pi } \over 2}) =  – 2\)

    Suy ra:

    \(\eqalign{
    & \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f(x) = f({\pi \over 3}) = {{3\sqrt 3 } \over 2} \cr
    & \mathop {min}\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f(x) = f({{3\pi } \over 2}) = – 2 \cr} \)