Bài 8 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 8. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(\sin x < x\) với mọi \(x > 0,\sin x > x\) với mọi \(x < 0\)

b) \(\cos x > 1 – {{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x \ne 0\)

c) \(\sin x > x – {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x > 0\); \(\sin x < x – {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x<0\).

Giải

a) Hàm số \(f\left( x \right) = x – \sin x\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và có đạo hàm \(f’\left( x \right) = 1 – \cos x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\). Do đó hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\), từ đó với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) ta có:

\(f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow x – \sin x > 0\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\). Với \(x \ge {\pi  \over 2}\) thì \(x > 1 \ge \sin x\).

Vậy \(\sin x < x\) với mọi \(x > 0\)

* Với mọi \(x<0\), áp dụng chứng minh trên ta có:

\(\sin \left( { – x} \right) <  – x \Rightarrow  – \sin x <  – x \Rightarrow \sin x > x\)

Vậy \(\sin x > x\) với mọi \(x<0\).

b) Hàm số \(g\left( x \right) = \cos x + {{{x^2}} \over {2 – 1}}\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và có đạo hàm \(g’\left( x \right) = x – \sin x\)

Theo câu a) \(g’\left( x \right) > 0\) với mọi \(x>0\) nên hàm số g đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\), khi đó ta có

\(g\left( x \right) > g\left( 0 \right) = 0\) với mọi \(x>0\), tức là \(\cos x + {{{x^2}} \over 2} – 1 > 0\) với mọi \(x>0\)

hay \(\cos x > 1 – {{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x>0\) (1)

Với mọi x0 nên theo (1) ta có:

\(\cos \left( { – x} \right) > 1 – {{{{\left( { – x} \right)}^2}} \over 2}\, \Leftrightarrow \cos x > 1 – \,{{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\cos x > 1 – \,{{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x \ne 0\).

c) Hàm số \(h\left( x \right) = \sin x – x + {{{x^3}} \over 6}\) có đạo hàm \(h'(x) = \cos x – 1 + {{{x^2}} \over 2} > 0\) với mọi \(x \ne 0\) (câu b)

Do đó \(h\) đồng biến trên \(\mathbb R\) nên ta có:

\(h\left( x \right) > h\left( 0 \right) = 0,\forall x > 0\) và \(h\left( x \right) < h\left( 0 \right) = 0,\forall x < 0\)

Từ đó suy ra: \(\sin x > x – {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x>0\)

\(\sin x < x – {{{x^3}} \over 6}\)với mọi \(x<0\)