Bài 85 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao


    Giải các bất phương trình sau:a) \(\sqrt {{x^2} - 4x - 12}  \le x - 4\)b) \((x - 2)\sqrt {{x^2} + 4}  \le {x^2} - 4\)c) \(\sqrt {{x^2} - 8x}  \ge 2(x + 1)\)d) \(\sqrt {x(x + 3)}  \le 6 - {x^2} - 3x\)Đáp ána) Ta có:\(\eqalign{ & \sqrt {{x^2}...

    Giải các bất phương trình sau:

    a) \(\sqrt {{x^2} – 4x – 12}  \le x – 4\)

    b) \((x – 2)\sqrt {{x^2} + 4}  \le {x^2} – 4\)

    c) \(\sqrt {{x^2} – 8x}  \ge 2(x + 1)\)

    d) \(\sqrt {x(x + 3)}  \le 6 – {x^2} – 3x\)

    Đáp án

    a) Ta có:

    \(\eqalign{
    & \sqrt {{x^2} – 4x – 12} \le x – 4 \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    {x^2} – 4x – 12 \ge 0 \hfill \cr
    x – 4 \le 0 \hfill \cr
    {x^2} – 4x – 12 \le {(x – 4)^2} \hfill \cr} \right. \cr
    & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    \left[ \matrix{
    x \le – 2 \hfill \cr
    x \ge 6 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
    x \ge 4 \hfill \cr
    4x \le 28 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 6 \le x \le 7 \cr} \)

    Vậy \(S = [6, 7]\)

    b) Ta có:

    \((x – 2)\sqrt {{x^2} + 4}  \le {x^2} – 4\)

    \(\Leftrightarrow (x – 2)(\sqrt {{x^2} + 4}  – x – 2) \le 0\)

     + Với x = 2 là nghiệm của bất phương trình

    + Với x > 2, ta có:

    \((x – 2)\sqrt {{x^2} + 4}  \le {x^2} – 4 \)

    \(\Leftrightarrow {x^2} + 4 \le {(x + 2)^2} \Leftrightarrow x \ge 0\)

    Kết hợp với điều kiện, ta có: x > 2.

    + Với x < 2, ta có:

    \(\eqalign{
    & (x – 2)\sqrt {{x^2} + 4} \le {x^2} – 4 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x + 2 > 0 \hfill \cr
    \left\{ \matrix{
    x + 2 \ge 0 \hfill \cr
    {x^2} + 4 \ge {(x + 2)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr
    & \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x < – 2 \hfill \cr
    \left\{ \matrix{
    x \ge – 2 \hfill \cr
    x \le 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le 0 \cr} \)

    Vậy \(S = (-∞, 0] ∪ [2, +∞)\)

    c) Bất phương trình đã cho tương đương với:

    \((I) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    {x^2} – 8x \ge 0 \hfill \cr
    x + 1 < 0 \hfill \cr} \right.\)

    hoặc

    \((II) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    x + 1 \ge 0 \hfill \cr
    {x^2} – 8x \ge 4{(x + 1)^2} \hfill \cr} \right.\) 

    Ta có:

    \(\eqalign{
    & (I) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    \left[ \matrix{
    x \le 0 \hfill \cr
    x \ge 8 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
    x < – 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < – 1 \cr
    & (II)\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    x \ge – 1 \hfill \cr
    3{x^2} + 16x + 4 \le 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    x \ge – 1 \hfill \cr
    {{ – 8 – 2\sqrt {13} } \over 3} \le x \le {{ – 8 + 2\sqrt {13} } \over 3} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow – 1 \le x \le {{ – 8 + 2\sqrt {13} } \over 3} \cr} \)

    Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

    \(S = ( – \infty, – 1) \cup {\rm{[}} – 1,\,{{2\sqrt {13}  – 8} \over 3}{\rm{]}} = ( – \infty,{{2\sqrt {13}  – 8} \over 3}{\rm{]}}\) 

    d) Đặt \(t = \sqrt {x(x + 3)} \,\,\,(t \ge 0)\)

    ⇒ x2 + 3x = t2 ⇔ t2 + t – 6 ≤ 0 ⇔  -3 ≤ t ≤ 2

    Kết hợp với điều kiện: 0 ≤ t ≤ 2  ⇔  0 ≤ x2 + 3x ≤ 4

    \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    {x^2} + 3x \ge 0 \hfill \cr
    {x^2} + 3x – 4 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    \left[ \matrix{
    x \le – 3 \hfill \cr
    x \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
    – 4 \le x \le 1 \hfill \cr} \right. \)

    \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
    – 4 \le x \le -3 \hfill \cr
    0 \le x \le 1 \hfill \cr} \right.\)

    Vậy \(S  = [-4, -3] ∪ [0, 1]\)