Bài 9 trang 190 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 9

 Xác định tập hợp câc điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) \(\left| {z – i} \right| = 1\)                     b) \(\left| {{{z – i} \over {z + i}}} \right| = 1\)                     

c) \(\left| z \right| = \left| {\overline z  – 3 + 4i} \right|\)

Giải

a) Giả sử  khi đó \(z – i = x + \left( {y – 1} \right)i\) và \(\left| {z – i} \right| = 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 1\).

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm \(I\left( {0,1} \right)\) bán kính \(1\).

b) Giả sử

Ta có:\(\left| {{{z – i} \over {z + i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {z – i} \right| = \left| {z + i} \right| \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y – 1} \right)i} \right| = \left| {x + \left( {y + 1} \right)i} \right|\)

                         \( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow \) z là số thực.

Tập hợp M là trục thực \(Ox\).

c)

    \(\left| z \right| = \left| {\overline z  – 3 + 4i} \right| \Leftrightarrow \left| {x + yi} \right| = \left| {x – yi – 3 + 4i} \right|\)

    \( \Leftrightarrow \left| {x + yi} \right| = \left| {\left( {x – 3} \right) + \left( {4 – y} \right)i} \right| \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {4 – y} \right)^2}\)

    \( \Leftrightarrow 6x + 8y = 25\)

Tập hợp M là đường thẳng có phương trình: \(6x + 8y = 25\)