Bài 96 trang 132 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 96. Giải các hệ phương trình:

\(a)\,\left\{ \matrix{
{\log _2}\left( {x – y} \right) = 5 – {\log _2}\left( {x + y} \right) \hfill \cr
{{\log x – \log 4} \over {\log y – \log 3}} = – 1 \hfill \cr} \right.\)

\(b)\,\left\{ \matrix{
2{\log _2}x – {3^y} = 15 \hfill \cr
{3^y}.{\log _2}x = 2{\log _2}x + {3^{y + 1}} \hfill \cr} \right.\)

Giải

a) Điều kiện: 

\(\left\{ \matrix{
x > 0;\,y > 0 \hfill \cr
x – y > 0;\,x + y > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x > y > 0\)

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{\log _2}\left( {x – y} \right) = 5 – {\log _2}\left( {x + y} \right) \hfill \cr
{{\log x – \log 4} \over {\log y – \log 3}} = – 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\log _2}\left( {x – y} \right) + {\log _2}\left( {x + y} \right) = 5 \hfill \cr
\log {x \over 4} = – \log {y \over 4} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\log _2}\left( {{x^2} – {y^2}} \right) = 5 \hfill \cr
\log {{xy} \over {12}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – {y^2} = 32 \hfill \cr
xy = 12 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Giải hệ bằng phương pháp thế ta được \(x = 6, y = 2\).
Vậy \(S = \left\{ {\left( {6;2} \right)} \right\}\)
b) Điều kiện: \(x > 0\).

Ta có nghiệm phương trình:

\(\left\{ \matrix{
2u – v = 15\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr
u.v = 2u + 3v\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)

Từ (1) suy ra \(v = 2u – 15\), thay vào (2) ta được:

\(\eqalign{
& u\left( {2u – 15} \right) = 2u + 3\left( {2u – 15} \right) \Leftrightarrow 2{u^2} – 23u + 45 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
u = 9\,\,\,\text{ với }\,\,u = 9 \Rightarrow v = 3 \hfill \cr
u = {5 \over 2}\,\,\,\text{ với }\,\,u = {5 \over 2} \Rightarrow v = – 10\,\,\left( \text{loại} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy 

\(\left\{ \matrix{
u = 9 \hfill \cr
v = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\log _2^x = 9 \hfill \cr
{3^y} = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {2^5} = 512 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ {\left( {512;1} \right)} \right\}\)