Câu 18 trang 224 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


    Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn tâm O, bán kính R. Điểm A cố định thuộc đường tròn, đường kính BC quay quanh O, (BC không trùng với OA). Đặt \(\widehat {ABC} = \alpha \). Điểm S nằm trong không gian sao cho SA vuông góc với (P) và...

    Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn tâm O, bán kính R. Điểm A cố định thuộc đường tròn, đường kính BC quay quanh O, (BC không trùng với OA). Đặt \(\widehat {ABC} = \alpha \). Điểm S nằm trong không gian sao cho SA vuông góc với (P) và SA = 2R.

    a) Chứng minh rằng chân đường cao SH của tam giác SBC thuộc một đường tròn cố định.

    b) Xác định α để diện tích tam giác SBC đạt giá trị lớn nhất, hãy tính giá trị đó.

    Trả lời

    Câu 18 trang 224 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao 

    a) Vì \(SA \bot \left( P \right)\) và \(SH \bot BC\) nên \(AH \bot BC\) (định lí ba đường vuông góc) hay \(\widehat {AHO} = {90^0}\). Như vậy H thuộc đường tròn đường kính AO trong mp(P). Đường tròn này cố định.

    b) \({S_{SBC}} = {1 \over 2}BC.SH = R.SH\)

    Do đó SSBC lớn nhất khi và chỉ khi SH lớn nhất. Điều này xảy ra khi và chỉ khi AH lớn nhất, tức là H và O trùng nhau, khi đó \(\alpha  = {45^0}\).

    Khi \(\alpha  = {45^0}\) thì \({S_{SBC}} = R.\sqrt {4{{\rm{R}}^2} + {R^2}}  = {R^2}\sqrt 5 \).