Câu 4.38 trang 211 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12

Tìm số phức z, biết:

a)  \(\bar z = {z^3}\)                                   b) \(|z| + z = 3 + 4i\)

Hướng dẫn làm bài

a) Ta có \(z\bar z = |z{|^2}\)   nên từ  \(\bar z = {z^3} \Rightarrow  |z{|^2} = {z^4}\)

Đặt  z  = a+ bi , suy ra:

\({a^4} + {b^4} – 6{a^2}{b^2} + 4ab({a^2} – {b^2})i = {a^2} + {b^2}\)              (*)

Do đó, ta có:     \(4ab({a^2} – {b^2}) = 0\)                         (**)

Từ (**) suy ra các trường hợp sau:

+) a = b = 0 ⟹ z = 0

+) \(a = 0,b \ne 0\) :  Thay vào (*), ta có  \({b^4} = {b^2} \Rightarrow  b =  \pm 1 \Rightarrow  z =  \pm i\)

+) \(b = 0,a \ne 0\) : Tương tự, ta có    \(a =  \pm 1 \Rightarrow  z =  \pm 1 \)

+) \(a \ne 0,b \ne 0 \Rightarrow  {a^2} – {b^2} = 0 \Rightarrow  {a^2} = {b^2}\)  , thay vào  (*), ta có:

2a²(2a² + 1) = 0, không có a nào thỏa mãn (vì \(a \ne 0\) )

b) Đặt z = a + bi. Từ |z| + z = 3 + 4i  suy ra

\(\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + a + bi = 3 + 4i \Rightarrow  b = 4\) và \(\sqrt {{a^2} + 16}  + a = 3\)

\( \Rightarrow  {a^2} + 16 = {(3 – a)^2} = 9 – 6a + {a^2}\)

\(\Rightarrow  6a =  – 7 \Rightarrow  a =  – {7 \over 6}\) 

Vậy  \(z =  – {7 \over 6} + 4i\)