Câu 59 trang 14 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sau:

a. A\( = {x^2} – 6x + 11\)

b. B\( = 2{x^2} + 10x – 1\)

c. C\( = 5x – {x^2}\)

Giải:

a. A\( = {x^2} – 6x + 11\) \( = {x^2} – 2.3x + 9 + 2 = {\left( {x – 3} \right)^2} + 2\)

Ta có: \({\left( {x – 3} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x – 3} \right)^2} + 2 \ge 2\)

\( \Rightarrow A \ge 2\). Vậy A = 2 là giá trị bé nhất của biểu thức tại \(x = 3\)

b. B\( = 2{x^2} + 10x – 1\)= \(2\left( {{x^2} + 5x – {1 \over 2}} \right)\)

\(\eqalign{  &  = 2\left[ {x + 2.{5 \over 2}x + {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} – {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} – {1 \over 2}} \right]  \cr  &  = 2\left[ {{{\left( {x + {5 \over 2}} \right)}^2} – {{25} \over 4} – {2 \over 4}} \right] = 2\left[ {{{\left( {x + {5 \over 2}} \right)}^2} – {{27} \over 4}} \right] = 2{\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} – {{27} \over 2} \cr} \)

Vì \({\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} – {{27} \over 2} \ge  – {{27} \over 2}\)

\( \Rightarrow B \ge {{27} \over 2}\). Vậy B\( =  – {{27} \over 2}\) là giá trị nhỏ nhất tại \(x =  – {5 \over 2}\)

c. \( C= 5x – {x^2}\) \( =  – ({x^2} – 5x) =  – \left[ {{x^2} – 2.{5 \over 2}x + {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} – {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2}} \right]\)

\( =  – \left[ {{{\left( {x – {5 \over 2}} \right)}^2} – {{25} \over 4}} \right] =  – {\left( {x – {5 \over 2}} \right)^2} + {{25} \over 4}\)

Vì \({\left( {x – {5 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow  – {\left( {x – {5 \over 2}} \right)^2} \le 0 \Rightarrow  – {\left( {x – {5 \over 2}} \right)^2} + {{25} \over 4} \le {{25} \over 4}\)

\( \Rightarrow C \le {{25} \over 4}\). Vậy C\( = {{25} \over 4}\) là giá trị nhỏ nhất tại \(x = {5 \over 2}\)