Đề 2 trang 23 Sách bài tập (SBT) Hình học 12

ĐỀ 2 (45 phút)

Câu 1 (4 điểm) trang 23 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC.

a) Chứng minh A’B’C’D’ cũng là một khối tứ diện đều.

b) Tính  V_{A’B’C’D’}  theo a.

Hướng dẫn làm bài

a) Gọi E là trung điểm của CD. Khi đó  \({{EB’} \over {EA}} = {{EA’} \over {EB}}\)

Suy ra  B’A’ // AB và \(B’A’ = {1 \over 3}AB = {1 \over 3}a\)

Tương tự các cạnh khác của tứ diện A’B’C’D’  cũng bằng \({1 \over 3}a\)  nên A’B’C’D’ là một khối tứ diện đều.

b) Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD).

Vì AB = AC = AD nên HB = HC = HD.  Suy ra:  \(H \equiv A’\)

Ta có:  \({\rm{AA}}’ = \sqrt {{a^2} – {{({a \over {\sqrt 3 }})}^2}}  = {{a\sqrt 2 } \over {\sqrt 3 }}\)

          \({V_{ABCD}} = {1 \over 3}{1 \over 2}{a^2}{{\sqrt 3 } \over 2}{{a\sqrt 2 } \over {\sqrt 3 }} = {{{a^3}\sqrt 2 } \over {12}}\)

Vì tứ diện A’B’C’D’  đồng dạng với tứ diện ABCD với tỉ số đồng dạng là \(k = {1 \over 3}\) , nên \({V_{A’B’C’D’}} = {1 \over {27}}{V_{ABCD}} = {{\sqrt 2 } \over {324}}{a^3}\)

Câu 2 (6 điểm) trang 23 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân ở B, mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = 3a, AA’ = 5a,\(\widehat {A’BC} = {60^0}\) .

a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABB’A’)

Hướng dẫn làm bài

a) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A’ đến (ABC).

Vì \((A’BC) \bot (ABC)\) nên H thuộc đường thẳng BC.  Vì  \(AB \bot BH\) nên \(AB \bot BA’\).

Ta có:  \(A’B = \sqrt {A'{A^2} – A{B^2}}  = 4a\) ;

            \(A’H = A’B\sin {60^0} = {{4a\sqrt 3 } \over 2} = 2\sqrt 3 a\) ;

\({V_{ABC.A’B’C’}} = {{9{a^2}} \over 2}2a\sqrt 3  = 9\sqrt 3 {a^3}\)

b) Ta có:  \({V_{A’.ABC}} = {1 \over 3}{V_{ABC.A’B’C’}} = 3\sqrt 3 {a^3};\)

\({S_{ABA’}} = {1 \over 2}A’B.AB = {1 \over 2}4a.3a = 6{a^2}\)

Vì  \({V_{A’.ABC}} = {V_{C.ABA’}} = {1 \over 3}{S_{ABA’}}.d(C,(ABA’))\)

\(\Rightarrow d(C,(ABA’)) = {{3{V_{A’.ABC}}} \over {{S_{ABA’}}}} = {{9\sqrt 3 {a^3}} \over {6{a^2}}} = {{3\sqrt 3 a} \over 2}\)

Chú ý: Có thể giải câu b) bằng cách khác như sau:

\(\left\{ {\matrix{{(A’BC) \bot (ABC)} \cr {AB \bot BC} \cr} } \right. \Rightarrow  AB \bot (A’BC)\)

\(\Rightarrow  (ABB’A’) \bot (A’BC)\)

\(\Rightarrow d(C,(ABB’A’)) = d(C,A’B) = BC\sin {60^0} = {{3a\sqrt 3 } \over 2}\)