Đề 3 trang 67 Sách bài tập (SBT) Hình học 12

ĐỀ 3 (45 phút)

Câu 1 (5 điểm) trang 67 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu (S) tâm O, AB = 5a, AC = 4a, BC = 3a, khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng 2a. Tính thể tích mặt cầu (S) theo a.

Hướng dẫn làm bài

Tam giác ABC có AB² = AC² + BC² nên nó vuông tại C. Mặt phẳng (ABC) cắt (S) theo đường tròn đường kính AB. Gọi I là trung điểm của AB, khi đó  OI = 2a.

Suy ra \(OB = \sqrt {{{({{5a} \over 2})}^2} + 4{a^2}}  = {{\sqrt {41} } \over 2}a\)

Vậy \({V_{(S)}} = {4 \over 3}\pi {({{a\sqrt {41} } \over 2})^3} = {{41\sqrt {41} } \over 6}\pi {a^3}\)

Câu 2 (5 điểm) trang 67 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình trụ (H) có chiều cao bằng h, bán kính đường tròn đáy bằng R, O và O’ là tâm của hai đáy. Gọi AB là đường kính thuộc đường tròn đáy (O), CD là đường kính thuộc đường tròn đáy (O’), góc giữa AB và CD bằng \(\alpha (0 < \alpha  \le {90^0})\). Tính tỉ số thể tích giữa khối tứ diện ABCD và khối trụ (H). Xác định \(\alpha \) để tỉ số đó là lớn nhất.

Hướng dẫn làm bài

Thể tích khối trụ (H) là \({V_{(H)}} = \pi {R^2}h\) , thể tích khối tứ diện ABCD là:

\({V_{ABCD}} = {1 \over 6}AB.CD.\sin \alpha.h = {2 \over 3}{R^2}h\sin \alpha \)

Suy ra: \({{{V_{ABCD}}} \over {{V_{(H)}}}} = {{2\sin \alpha } \over {3\pi }} \le {2 \over {3\pi }}\)

Tỉ số đó là lớn nhất bằng  \({2 \over {3\pi }}\) khi \(\alpha  = {90^0}\)