Đề II trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10


    Câu 1. (6 điểm)Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c.a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}  = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over 2}\)b) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}  = A{I^2} - {{B{C^2}} \over 4}\) với I là trung điểm của BC;c) Gọi...

    Câu 1. (6 điểm)

    Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c.

    a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}  = {{{b^2} + {c^2} – {a^2}} \over 2}\)

    b) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}  = A{I^2} – {{B{C^2}} \over 4}\) với I là trung điểm của BC;

    c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, với M là điểm bất kì trong mặt phẳng, chứng minh hệ thức sau:

    \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 3M{G^2}\)

    Gợi ý làm bài

    a) Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {AB} \)

    \(\eqalign{
    & = > B{C^2} = {\overrightarrow {BC} ^2} = {(\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} )^2} \cr
    & = A{C^2} + A{B^2} – 2\overrightarrow {AC}.\overrightarrow {AB} \cr} \)

    \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}.\overrightarrow {AB}  = {{A{C^2} + A{B^2} – B{C^2}} \over 2}\)

    \(=  > \overrightarrow {AC}.\overrightarrow {AB}  = {{{b^2} + {c^2} – {a^2}} \over 2}\)

    b) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IB} \) và \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow {AI}  – \overrightarrow {IB} \)

    \( =  > \overrightarrow {AC}.\overrightarrow {AB}  = A{I^2} – I{B^2} = A{I^2} – {{B{C^2}} \over 4}\) (I là trung điểm của BC)

    c) Ta có: 

    \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 3M{G^2}\)

    \( \Leftrightarrow (M{A^2} – G{A^2}) + (M{B^2} – G{B^2}) + (M{C^2} – G{C^2}) = 3M{G^2}\)

    \( \Leftrightarrow (\overrightarrow {MA}  – \overrightarrow {GA)} (\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {GA} ) + (\overrightarrow {MB}  – \overrightarrow {GB} )(\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {GB} ) + (\overrightarrow {MC}  – \overrightarrow {GC} )(\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {GC} ) = 3M{G^2}\)

    \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} (\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {GC} ) = 3M{G^2}\)

    \(\Leftrightarrow \overrightarrow {MG} {\rm{[}}(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} ) + (\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} ){\rm{]}} = 3M{G^2}\)

    \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} (3\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow 0 ) = 3M{G^2}\)

    \(\Leftrightarrow 3{\overrightarrow {MG} ^2} = 3M{G^2}\) (đúng)

    Vậy đẳng thức được chứng minh.

    Câu 2. ( 4 điểm)

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;-1) và B(3;0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại.

    Gợi ý làm bài

    *Gọi \(C({x_C};{y_C})\), ta có: \(\overrightarrow {BC}  = ({x_C} – 3;{y_C});\overrightarrow {AB}  = (2;1)\)

    Vì ABCD là hình vuông  

    => \(\left\{ \matrix{
    AB \bot BC \hfill \cr
    AB = BC \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
    2{x_C} – 6 + {y_C} = 0 \hfill \cr
    {({x_C} – 3)^2} + y_C^2 = 5 \hfill \cr} \right.\)

    \(\eqalign{
    & = > \left\{ \matrix{
    {y_C} = 6 – 2{x_C} \hfill \cr
    {({x_C} – 3)^2} + 36 – 24{x_C} + 4x_C^2 = 5 \hfill \cr} \right. \cr
    & = > \left\{ \matrix{
    {y_C} = 2 \hfill \cr
    {x_C} = 2 \hfill \cr} \right. \vee \left\{ \matrix{
    {y_C} = – 2 \hfill \cr
    {x_C} = 4 \hfill \cr} \right. \cr} \)

    *Gọi \(D({x_D};{y_D})\)

    Với C(2;2)

    =>  \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    {x_D} – 2 = – 2 \hfill \cr
    {y_D} – 2 = – 1 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
    {x_D} = 0 \hfill \cr
    {y_D} = 1 \hfill \cr} \right.\)

    Với C(4;-2)

    => \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
    {x_D} – 4 = – 2 \hfill \cr
    {y_D} + 2 = – 1 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
    {x_D} = 2 \hfill \cr
    {y_D} = – 3 \hfill \cr} \right.\)

    Vậy C(2; 2), D(0; 1) hay C(4; -2), D(2;-3).